이렇게 해 보세요.

$_mogocode = "(가기코드 in ('" . implode("', '", $mogocode) . "'))";
$query = "SELECT * FROM 자료실정보 WHERE $_mogocode and instr(제목, '$sortname');";

설명 시작합니다.

Answer 1.
MySQL 문서를 잘 뒤지시다 보면 in이라는 연산자를 볼 수 있습니다. 이 놈의 사용법은...
-- <expr> in (<element1>, <element2>, ..., <elementN>)
이렇게 씁니다. 이게 뭔 말이냐 하면, <expr>라는 식의 값이 <element1>, <element2>, ..., <elementN>에 포함되어 있으면 1을 반환합니다. (아니라면 당연히 0을 반환하겠지요...)
따라서 다음 식의 값은 1입니다.
-- 'tokigun' in ('toki', 'babo', 'tokigun', 'brueak!')
하지만 다음 식의 값은 0입니다.
-- 7 in (3, 4, 6, 9)
1은 참으로 인식되는 숫자이므로, 그냥 and 연산자로 쭉 이어 줘도 별 문제는 없겠지요. :-)

Postscript in Answer 1.
implode 함수에 대해서 잠깐 설명해 봅시다. 이 함수는 배열의 값들 사이사이에 지정한 문자열을 끼워 넣어서 문자열로 만드는 함수입니다. 사용법은 다음과 같습니다.
-- implode(<string>, <array>)
다음 문장은 "산토끼 토끼야 어디를 가느냐"를 출력합니다.
-- echo implode(" ", array("산토끼", 7=>"토끼야", "abc"=>"어디를", "가느냐"));
이 때 키 값은 아무 역할도 하지 않습니다. 아무 정렬도 하지 않고 배열이 입력된 순서대로 출력됩니다. 혹시나 $mogocode 배열이 키 값 순서대로 입력되지 않은 것 같다면, ksort($mogocode); 명령으로 한방에 정렬할 수 있습니다.
* 혹시 $mogocode에 $mogocode[1], ..., $mogocode[10] 말고 다른 값도 들어 있다면 대략 낭패입니다. -_-; 그럴 때는 for이나 foreach 문으로 한 번 돌려 주어야 합니다. (뭐 다른 방법도 있지만)

Answer 2.
네. like는 서버에 상당한 부하를 줍니다. =_= 그래서 다음과 같은 함수들을 쓰지요.
-- instr(<string>, <pattern>)
-- locate(<pattern>, <string>)
-- locate(<pattern> in <string>)
이 세 함수 모두 <string>에 <pattern>이라는 문자열이 들어 가 있으면 0보다 큰 수를 반환합니다. (아니면 당연히 0이겠지요...)
좀 더 자세히 말하자면, <string>에서 <pattern>이라는 문자열이 처음으로 나오는 위치를 반환합니다. 예를 들어서 다음 예는 3을 반환합니다. (첫 글자가 1이라는 걸 쉽게 알 수 있습니다)
-- instr('##tokiTOKItoki##', 'toki')
뭐 우리는 있는 지 없는 지만 확인하므로, 문자열이 들어 가 있으면 0보다 큰 수를 반환하고, 이 숫자들은 참으로 인식되므로 그냥 써도 되겠습니다.

- 토끼군

생각해 보니 postscript in answer 1의 ksort 함수는 왜 썼는 지 모르겠습니다. -_-;;