1. apm이라 하여 apache, php, mysql 을 본인의 컴퓨터에 설치할 수 있습니다.
각각의 인스톨파일이 있습니다. php의 경우 따로 인스톨파일이 있는게 아니고 그냥 복사해 오는 방식으로 설치합니다.
윈도우와 리눅스에서 설치할 수 있으며 이 경우 자신의 컴퓨터에서 세 가지 모두 사용이 가능합니다.
일반적으로 자신의 컴퓨터에서는 연습용으로 이용하고 홈페이지 운영을 위해서는 호스팅업체에서 모두 셋팅해 준 계정을 이용합니다.
물론 자신의 컴퓨터에서 연습용이 아닌 서버로 돌릴 수도 있습니다만 사용환경이 뒷받쳐주지 않으면 그 기능을 제대로 발휘하기 힘듭니다.

2.php는 웹프로그래밍 언어로 여기 제로보드 같은 게시판이나 쇼핑몰 등을 만들 수 있습니다. 리눅스기반의 서버에서 MySQL과 최상의 궁합을 이룹니다.
mysql은 db를 만들고 관리해주는 언어라고 생각하시면 되고

3.db는 데이타베이스, 그러니까 자료들의 모음정도로 이해하심 될꺼같네요.
db는 mysql을 이용하여 개인이 만들 수 있습니다.
위에서 말한 apm을 설치하고 자신의 컴퓨터에서 만들 수도 있고, 호스팅업체에서 셋팅해 주는 계정에서 만들 수도 있습니다.(이경우 자신의 컴퓨터에서 만드는 거와는 달리 제한이 있습니다만 일반적인 홈피관리상 큰 제한은 없습니다.)
mysql을 이용하여 db를 생성하거나 db에 있는 자료들을 삭제, 복구할 수 있습니다.
보통 셋팅해 놓은 계정에 제로보드를 설치하게 되면 제로보드 설치시 db에 제로보드의 db구조를 자동적으로 설치하게 되고 우리가 제로보드에 이렇게 글을 남기게 되면 이 글들이 모두 db에 저장이 됩니다.

저도 잘 모르지만 아는 한도내에서 설명해보았습니다.
좀 부족하거나 틀린 부분은 다른 고수님께서 지적해주시길....