1. 기존에 만들었던 메뉴세트에서 제목이든 연결페이지든 수정하고싶은데 "메뉴편집"에서는 해당 메뉴 세트가 보이지 않는다
=> 해당 메뉴의 형태는 변경할 수 없습니다. 즉, 링크형이든 게시판형이든, 페이지형이든 이 설정은 한번 정해지면 변경이 안 되고
  

2. 그러나 "사이트 디자인 설정"에서는 두번째 캡쳐화면처럼 정상적으로 나타나고 선택할 수 있다.

=> 위의 스크린샷대로라면 메뉴 세트가 다 보이는듯한데요?
   폴더아이콘 바로 우측에 적혀있는 메뉴이름이,  레이아웃 일괄적용에 나타나는 메뉴명이 입니다
   지금 스크린샷으로,  상단메뉴/하단메뉴/상단메뉴(영어)/참조상단메뉴  전부 다 양쪽 모두에 나타납니다

3. 기존 메뉴세트를 사용하지 않고, 새로운 메뉴세트를 생성한 후 기존에 만들었던 페이지를 연결하려면 비활성화 되어 선택되지도 않고 이조차도 나타나지 않는 페이지가 많다

=> 링크형으로 연결하는건 대상이 게시판 이나 페이지여야합니다. 링크형 메뉴를 다시 재링크를 걸 수 없죠
   즉, 가장 우측에서 비활성화되어있는건 전부 링크형 메뉴 일겁니다.   ( 화살표로 나가는 아이콘이 링크형 메뉴란 뜻이예요)
   이 링크형게시판이 원본 페이지나 게시판 메뉴가 있을겁니다. (unlinked 에 있을가능성이 높겠네요)  그곳으로 연결해쓰세요

대충 보니, 메뉴르 이렇게 구성한듯하네요..
사이트메뉴 편집에서 직접적으로 메뉴구조를 생성한게 아니라..

unlinked 에 각 게시판이나 페이지를 다 따로 생성한후
실제 사용하는 메뉴구조에서는,  unlinked 에 생성해둔걸  링크로 연결하는 구조로 생성한듯합니다

아마도 메뉴 삭제시 게시판이나 페이지 내용이 전부 삭제 되는걸 막기 위해 이런 구조로 짜신듯합니다.
이것도 한 방법이니, 오류등은 아니고,  링크대상을 잘 찾아서 설정하시면 됩니다.